MATLAB如何实现傅里叶变换FFT？有何物理意义？

为什么要进行傅立叶变换，究竟有何意义？如何用MATLAB实现快速傅立叶变换？本文从 FFT 的由来开始讲起，然后在 MATLAB 中实现了 FFT 的计算，并给大家详细地解读了 FFT 的变换结果，最后还介绍了 FFT 的一个应用实例。

工具/原料

 

• MATLAB

准备傅里叶变换的基础知识

 

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   为什么要进行傅里叶变换？

   将时域的信号，变换到频域的正弦信号

   正弦比原信号更简单，且正弦函数很早就被充分地研究，处理正弦信号，比处理原信号更简单

   正弦信号的频率保持性：输入为正弦信号，输出仍是正弦信号，幅度和相位可能发生变化，但频率与原信号保持一致；只有正弦信号才拥有这样的性质
    
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   傅里叶变换的类型

   非周期连续信号：傅里叶变换

   周期连续信号：傅里叶级数

   非周期离散信号：离散时间傅里叶变换

   周期离散信号：离散傅里叶级数
    

    
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   从离散傅里叶级数(DFS) 到离散傅里叶变换(DFT)

   从离散傅里叶变换(DFT) 到快速傅里叶变换(FFT)
   END

MATLAB中实现FFT的计算

 

1.  
   Y = fft(x) % x 为一个序列(向量)，存放采集信号的数据

   Y = fft(x,n) % x 的定义同上，n 定义计算数据的个数

   如果n 大于x 的长度，在x 的末尾添加0，使得x 的长度等于n

   如果n 小于x 的长度，截取x 中的前n 个数来进行计算

   Y 返回fft 的结果，为一个复数序列(向量)

   建议：采用第一种格式的用法，并且保证x 的个数为偶数
2.  
   频谱关于中间位置对称(序号位置0 和N/2 除外)，MATLAB 的FFT 为对称谱

   看MATLAB 中FFT 的频谱，只需要看一半

   幅值不受影响，但是实部或虚部的值，会出现0 的情况

   看MATLAB 中FFT 的频谱，应该看幅值
3.  
   FFT结果的数据长度：时域N个点-->频域为N/2+1个点

   x轴频率点的设置：采样频率为Fs时，频谱图的最高频率为Fs/2(具体请参照采样定理)

   综合上述两点：x轴的频率点为：(0:1:N/2)*Fs/N

   复数的幅值修正：复数序列Y的幅值，需要进行转换，才能得到与时域中对应信号的幅值。

   复数的相位：计算Y的相位，得到与时域中对应信号的相位值
4.  
   进行傅里叶变换FFT的两个基本问题

   采样频率为多少合适？

   -根据采样定理：Fs≥2Fc，实际应用中需要更大的Fs

   需要采集多少个点？

   -频谱图中，频率的坐标间隔（频率分辨率）：Fs/N(Page13)

   -Fs=2000Hz，N=100，Fs/N=20

   -原信号含有60Hz，72Hz频率成分，(72–60)<20x

   -N增大至1000，Fs/N=2，(72–60)>2√
   END

注意事项

 

• 傅里叶变换是信号处理的基础内容
• 推荐阅读郑君里老先生的《信号与系统》